数字单位排名从小到大(数字单位换算器)

话题:#科学# #数学# #文化#

小石头/编

在那个远古时代,在那个比旧石器时代还要早的时代,在那个还没有文字记录言语的时代,中国黄河流域沿岸的先祖们就创造和使用了数字


人类之所以可以创造数字,与人类天生就具有两种本能:

A.将个体从背景中识别出来的能力;

B.提取和比较个体特性(比如:个体的大小、颜色、… 等)的能力;

息息相关。

当然,这两种本能和人的大脑构造有关,不过,这里并不打算分析它们的成因,有兴趣的朋友可以参考《认知心理学》或《神经科学原理》。

为了说明,这两种本能与数字的关系,我们不妨做一个思想实验:假设你是一万年前黄河流域的某个部落的成员。这时部落正在用餐,你面前摆着的一堆野果就是你今天的食物。

首先是本能A,让你可以意识到 这堆野果,同时,让你可以从中拿出一个塞在嘴里。然后是随着一个一个野果进入你的脏腑,你可以感受到,野果堆大小在减少,这就是本能B,起了作用。

刚开始,野果堆被识别为一个整体,这时对野果堆的感知是“量”的多少,而 随着野果被吃掉, ”量“ 逐渐减少,当达到某个临界点后,野果堆中的每个野果就会以不同个体凸显出了,这时野果堆就有了“数”的多少。

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山里红:蔷薇科,山楂属山楂的变种,分布于中国河北、黑龙江、内蒙古等地。

我们虽然不知道,“量”到“数”的临界点在那里,但有研究表明,新生的婴儿和南美最原始的部落,至少可以区分 1个、2个、3个,而语言中的人称代词:你、我、他,是另一个佐证。

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所有的文明都能独立产生自己的数字,是作为这言语的一部分和语言一同诞生,这是在人类本能驱使下劳动实践的必然结果。

另一项,关于动物区分数字的实验,比如:黑猩猩,也能佐证,人类的祖先智人具有认知数字的能力。


言语远远早于文字,老先祖在没有文字的情况下会使用相对便捷的“物品”作为“具象数字”,而“具象数字” 之间的 一一对应关系,使得它具有记录数字的能力,例如:当用 石堆 分别去一一对应 果堆、人群、猪群、树林、… 时,石堆 就 数字。

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考古研究表明,很多“物品”都被我们的老祖宗作为数字使用过。

可以认为,手指是最早的记录 数字的 ”物品“,这一点从小孩子学算术的掰手指行为,以及中国数字的十进制与十根手指对应,都可以得到佐证。

但是,手指 毕竟 只能记录1到10,于是 石子 就成为了一种代替物。

虽然石子现今已经失去的作为数字的功能,但依然能从其被用作围棋棋子的历史(考古发现:最早的棋子不是圆的,而是不规则形的石子,直到开始用鹅卵石来做棋子,才逐渐演变成今天的圆形)中看出一些痕迹,而骰子 和 牌九上的黑白红点,是石子被使用过的另外一些痕迹。

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理论上,只要古人口袋里的 石子 足够多,就可以 记录任意 大的数字。不仅如此,石子还具有天然的计算能力,例如:

  • 将 2 个石子 和 3 个石子放在 一起,自然就得到了 2+3=5 个 石子;
  • 将 石子 排列成 2 行 3 列,自然就 得到了 2×3=6 个 石子。
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石子甚至,还可以用来证明一些代数定理,例如:

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注:这种对应石子可摆基本几何图形的数,被称为形数,它是毕达哥拉斯学派的研究对象之一。关于形数,有机会,再详细给大家介绍。

我们有理由猜想:围棋盘最早就是用来计算的“计算盘”,而黑白石子分别表示正负整数。


当然,石头还是太沉,不方便携带,于是我们的祖先又用短棍代替了石子,这就是算筹

理论上,短棍是一维的线,石子是零维的点,因此,前者可以比后者表示更多信息,实际上也是如此:

我们的祖先用 1、2、3、4、5 根 纵放的短棍 分别表示数字 1、2、3、4、5, 这与 石子 的区别不大,但之后 用 1 根横着摆放的短棍 分别加上 1、2、3、4、根 纵放的短棍 来表示数字6、7、8、9,可就比 石子表示 “节省用料” 了。

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接下来的 10 和 1 的表示一样,只不过短棍摆放位置向左移1位,之后只要在右边留出的空位上分别摆放1到9对应的短棍,就表示了数字 11 到 19;同时,再将左边的1分别替换为2到9,就可以表示20到99的所有数字了。

再接下来的 100 又复归 1 的表示,只不过短棍摆放位置向左移2位,之后 … …

… …

从右向左数:

  • 第1位称为个位,其上的每个数字就是它原本的值;
  • 第2位称为十位,其上的每个数字是它原值的10倍;
  • 第3位称为百位,其上的每个数字是它原值的100倍;
  • 第4位称为千位,其上的每个数字是它原值的1000倍;
  • 第5位称为万位,其上的每个数字是它原值的10000倍;
  • … …

这种靠位置区分数字值的方法,叫做 位值制,是由中国老祖宗率先创造,并一直沿用到现在的阿拉伯数字中。

大家有没有发现:1到5的短棍摆放,和竖起的手指是多么相似,也许 短棍 本身就是 十根手指 不够用的 直接 替代品,中间不经过 石子。

在算筹的计数方法中,一个空位表示的数字0,聪明的读者会注意到,这存在一个问题:

若没有上下文数字定位参考,1根单独纵置的短棍,很难区分它是1还是10。

为了解决这个问题,老祖宗让所有处于处于10位的短棍,旋转90°,这样就得到了另外一种横置的摆放方式:

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再推而广之,老祖宗规定:

对于任意10?位,当 n=0, 2, 4, … 时,使用 纵式,当 n=1, 3, 4, … 时,使用 横式。

孙子算经》:凡算之法,先识其为,一从十横,百立千疆,千十相望,万百相当。

当然,这个方案依然不能 区分 单独的 1和 100、10 和 1000、… 等 ,所以在言语进行文字化的过程中,老祖宗使用了另外一种方式 ——单位,来符号化数字(见后文),而算筹则成为了一种纯粹的计算工具,因为有下文数位对比,因此没有此类问题。

算筹的摆放方式,每位最多只需要5根短棍,只需要10根短棍 就可以表示 100 以内的所有数字,这样就极大的 “节省用料”,方便携带。但是有利必有弊,短棍不能像石子那样,通过简单的摆放来完成运算,于是老祖宗又开发出来一套完整的算筹运算方法,这就是现在使用的竖式运算的最早版本,被记录在《孙子算经》中。

算筹摆放方式和运算方法一起组成了完整的体系,使得算筹成为了世界上第一个成熟的计算工具。


石子和算筹的特长是方便计算,但是石子可随意增减、算筹很易打乱摆放,所以它们都不适用于 数字 的 保存和传播,于是绳结应需而生。

大家可能对河图洛书并不陌生,其中的数字就是用绳结表示的。

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也有人认为,河图洛书,是用绳子穿起来的石子,但不管如何,绳子起到了固定数字的作用,使得数字可以长期保存和远距离传送。

绳结还被古人用于记事,并且,两个相同的绳结还被 作为 双方约定的合同”文书“,将绳结换成有刻痕的木片,称为刻木,也有类似的的作用。古人将用于合同”文书“ 的 绳结 和 刻木 分别 叫做 ”约“ 和 ”契“,我们今天的 所谓 ”契约“ 就是这么来的。

当然,与绳结一样,刻木也用于记录数字。现今我国的有些少数民族,仍然在使用绳结和刻木。

注:现代数学,对绳子打结,有更深入的研究,关于这方面知识,有兴趣的朋友可以参考《纽结论》。


短棍对于老祖宗的作用,可不仅仅是 算算术(算筹),它还是:做饭(擀杖)、吃饭(筷子)、战争(木棒)、… 甚至是上厕所(厕筹)的工具。

短棍 的另一项 重要作用 是 在 祭祀活动上 进行 占卜,称为 筮占。为了进一步减轻短棍的重量,以及增加神秘主义色彩,老祖宗会 使用 深山老林 里 的 一种 叫做 蓍草 的 多茎 草本植物 的 茎叶 做 占卜用,据说 蓍草的香味 可是使人 精神抖擞、眼明耳聪。

最好的蓍草可多至五十茎,因此五十被《周易》称为 “大衍之数”,并且作为 进行 筮占 所必须的 短棍 数量。

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占和卜 是 两种不同的 预测未来的方法,占 是 排布 蓍草杆,而 卜 则 煅烧 龟甲或牛骨,具体步骤是:

  • 将要向“上天”询问的问题,刻在甲骨正面上;
  • 然后在甲骨背面挖几个眼,一般一个问题点对应一个眼;
  • 接下来在篝火上烧烤甲骨,直到甲骨在这些眼周围产生裂纹;
  • 最后 巫师 通过 这些 裂纹,解读 “上天” 的启示。

注:“卜”,文 就是甲骨上的裂痕,音 就是 甲骨烧裂时发出 “噗” 的一声。

占是算筹的直接应用。与石子分黑白一样,算筹也分红白,用于表示正负,这发展到《易经》中就是阴阳爻。从《易经》可以看出,算筹最早也被用于记事,卦可以认为是一种抽象的文字。但是,卦毕竟只有64个,只能表示一些抽象的含义,无法和言语符号一一对应,为了在卜中明确的询问,老祖宗不得不将 言语化为文字符号 刻在甲骨上,这就是汉字的第一个版本——甲骨文。

根据考古研究,我们新石器时代的先祖,就开始在彩陶上,刻画一些抽象的符号了,这些就是甲骨文的早期版本,而数字符号在这个时候就出现了;然后,就是 殷商的 甲骨文,汉字基本成形;然后,是西周大篆,由于多镌刻在金属器皿(或石鼓)上所以也叫金文;然后,就是 秦朝的小篆,收录于《说文解字》;再后,就是 隶书,多出土于 楚秦汉的竹简,汉字到这一时期完全定型;最后,就是现在的楷书了。


接下来,我们来看看,汉字数字的演变过程:

  • 1,2,3 在甲骨文中 分别就是 1根、2根、3根 横线,之后没有变动 就一直沿用到现在,即,分别为,“一”、“二”、“三”;
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  • 4 在甲骨文中 是 4根 横线,由于横线多容易刻画在一起,于是 到了金文,因为 4 的发音 同于 “擤鼻涕” ,于是 就将后者作为4的文字,后来到了隶书 演变为现在的 “四”。
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而 “擤鼻涕“ 的本意 被改写为 “泗”;

  • 5 在甲骨文中 是 “×”,它有5个点(4个端点+1个中心点),而人的手指刚好5个,于是“×”也表示人的手。甲骨文中的"又",是人的手臂,其上端的”×”就是手。
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因为 “×” 和 “+” 都作为重要符号被刻画在器物上,从而无法保证方向,导致它们很难区分,于是后来,古人在 “×” 上下加了 两横(表示天地)以定位,5就演变为“沙漏”形。之后再经历 金文、小篆、隶书 直到 楷书,最终 演变为 现在的 “五”;

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  • 6 在甲骨文中 是 “房子”,因为房子有6个面(房子 的前后左右4面墙 加上 房顶的2个斜面)所以表示6,而且,6 古音 “陆” 和 “房子” 的 古音 “卢” 相同。之后, “房子” 经过 金文、小篆、隶书 直到 楷书,演变为 今天 的 "六";
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  • 7 在甲骨文中 是 “+”,本意 “刻痕“。因为 古时 7 和 “刻痕” 同音,所以借用 “+” 表示 7,后来为了 区分 "十" 改写为 "七"。
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而 “刻痕” 本意 被改写为 “切”;

  • 8 从甲骨文开始一直就是 “八”,是一根(干枯的)短棍被折断发出"叭"的一声,本意是 “一分为二”,而 8 最具有此意:
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因此,用 “八” 表示 8。

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而将 本意 “一分为二” 改写为 “分”;

  • 9 在甲骨文中是 因 挠后脑勺 或 摸索某物 而“极度弯曲的手臂”,它本意是 “极限” 和 “探索”。古人认为9是最大的数字,符合“极限”之意,于是 它表示 9,后来 经过 金文、小篆、隶书 直到 楷书,就演变为今天 的 “九”。
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而 在 “九” 上加一个 “穴”,改写为 "究",表示另一个本意 “探索”。


中国字的一个最大特点就是排列顺序不定,古代一般是 从上到下,从右到左,(而现在是 从右到左,从上到下),但有时也会 从右到左 (比如:牌匾),所以就无法使用算筹的“位值制”了,于是老祖宗发明了 “单位制”:

  • 10 在甲骨文中 就是 1根 竖线,是表示10的数字单位,后来 金文在 竖线 中间加一个点(指示符号),再后来 小篆又将 点改成1横,就变成了今天的 “十”。
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大家会发现,1,2,3,4 的甲骨文是 算筹的 横式,而10的甲骨文是 算筹的 纵式,这与由于算筹的规定(个位 纵 十位 横)刚好相反,这是由于,算筹是横着摆的,而甲骨文默认是竖着写的。

  • 表示100的数字单位,在甲骨文中有两种解释:

○ 其一,是 “水滴上加一个指示符号”,表示“口水”,引申为争执,因为部落的人多了(达到100数)就会有争执,所以 用 “口水” 表示 100。又因为 唾沫星子 是白色,所以 也用 “口水” 表示 “白色”。

○ 其二,是 “柏子上加一个指示符号”,表示 “白色”,而老人的胡子是白色,又很多,于是 表示 100。

后来,为了区分 “白色”,在其上加1横,再之后 经过 金文、小篆、隶书 直到 楷书,就演变为今天 的 “百”。

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  • 表示1000的数字单位,在甲骨文中就是"人腿上加1横(指示符号)", 后来 经过 金文、小篆、隶书 直到 楷书,就演变为今天的 “千”。这里,有两种解释:

○ 其一,表示“迁徙”,意思是部落的人再多(达到1000数),就会迁徙分成不同的部落,所以用“迁徙”来表示1000。而“迁徙” 的本意 改为 “迁”;

○ 其二,表示“腿毛”,腿毛比老人的胡子更多。

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  • 表示10000的数字单位,在甲骨文中就是“蝎子”,有两种解释:

○ 其一,表示“争斗”,意思如果人口再再多(达到10000数),则部落之间就会像蝎子一样争斗,所以用“争斗”来表示10000。

○ 其二,古人认为蝎子子孙不尽,数以10000记。

甲骨文中的 “蝎子” ,后来 经过 金文、小篆、隶书 直到 楷书,演变为今天的繁体字 “萬” 。

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由于,西汉形成的 “萬” 字,写法比较繁琐,不利于书写,于是,到了南北朝时期,书法家 借用 与 “萬” 同音 的 “万”(表示一种舞蹈) 作为 “萬” 的异体字,一直沿用至今,就是现在的简化字。

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注:我们现在使用的简化字,主要源于古字、俗字、异体字、草书楷化字,是漫长的汉字演变过程,早就形成的,而非上世纪60年代临时创造的。

以上就是主要的数字单位了,后来古人又以万为基础单位,创造了更大的数字单位:亿、兆、京、垓、秭、穣、沟、涧、正、载、极、恒河沙、阿僧只、那由他、不可思议、无量大数。它们之间的不再是10倍关系 而是 10000倍关系,即:

1亿 = 10000万,1兆 = 10000亿,…

不仅如此,古人还创造了小数单位:分、厘、毛、糸、忽、微、纤、沙、尘、埃、渺、漠、模糊、逡巡、须臾、瞬息、弹指、刹那、六德、虚空、清净、阿赖耶、阿摩罗、涅盘寂静。它们之间是 1/10关系,即:

1分 = 1/10个,1厘 = 1/分,…

注:古人将 数字单位1,称为 “个” 或者 “单”,例如:“个位“,”一百单八将“。

甲骨文时期 的 数字单位 受到 算筹 的影响,是与 数字连写的,比如:200就是 “白”上加2个横杠,3000就是“人“腿上加3个横杠,直到金文 才慢慢分开,成为了今天的形式,即: 将 200 写为 “二百”,3000写为 “三千”。

因为,有了单位值,所以不需要通过位置关系就可以 区分 1和100、10和1000,因此早期的数学,不需要将0文字化,后来随着数学的发展,有了需要后,古人才 用 “〇” 表示 算筹的空位,进而表示 0。

由于中国有算筹,所以 老祖宗 发明 汉字数字,并不是用于计算,而只是用于记录,这与 阿拉伯数字 即用于计算又用于记录不同。


中国数字(算筹+汉字数字)在汉朝就完全定型了,之后一直可以满足数学的发展需要。

直到宋朝开始,中国出现资本主义萌芽,商业开始发展,于是记账成为了数字的一个重要应用,可是由于 汉字数字 比较容易修改,例如:只要在 ”一“ 上加1横 就变成了 ”二“,这使得账目容易被篡改,于是从宋朝开始古人结合之前的 数字异体字,发明了 大写数字,(而原先的汉字数字,被称为 小写数字):

零、壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰(陌)、仟(阡)

后来,明朝初年因重大贪污案,朱元璋发布法令,强制记账一律使用大写数字,这一制度一直沿着至今。

再到明朝中期,由于 算筹携带比较麻烦、而且运筹的效率并不高,无法满足 商业迅猛发展的需要,于是明朝数学家在算筹的基础上,结合石子和绳结,发明了算盘。算盘的计算方法,沿袭算筹,但是比算筹容易携带,最关键是 拨动算珠,可比 挪动短棍 效率高太多了。于是,算筹 很快取代了 算筹 成为了 主要 计算工具。

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将算筹改进为算盘是一个方向,但是大家有没有想过,将算筹转化为文字,就像阿拉伯数字那样呢?明朝商人想到了,这就是今天的——苏州码子,也叫草码,花码、番仔码、商码,常用于当铺、药房,是古代民间的 加密 “商业数字”,现在依然在南方特别是香港被使用。

苏州码子的数字写法如下:

0:〇,1:〡或 一;2:〢或 二,3:〣或 三,4:〤,5:〥,6: 〦,7:〧,8:〨,9 〩

单位与小写数字一致。

此计数系统与现在的科学记数法很相近:分两排,第一排是 数字,从右向左(或从上倒下)为从高位到低位; 第二排是最高位的单位,例如:

〩〥〢二〇〧

十(元)

表示:95.2207(元)。


最后,稍微提一下:历法是数学的另外一个重要应用,古人发明的干支纪年,也是一种数字系统,相当于现在数学的,

由于牵扯较多数学知识,这里就不详细展开了,以后有机会再与大家讨论。


中国古代数学长于计算,大家从以上中国数字的起源和演变的复杂程度就能开出一些端倪。实际上,中国古代数学在宋朝达到了鼎盛,这时老祖宗就研究出 使用 算筹 求 高次方程 数值解的天元术 和 求解 同余方程组的 大衍求一术。

大家有时间应该好好读读中国古代数学经典,例如:《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》、《数书九章》、《算学宝鉴》等。

(好了,就写这么多吧,希望大家喜欢。)


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